-En nuestro siglo ha llegado a reconocerse que las culturas de Mesoamérica tenían sapiencia astronómica, calendárica y matemática. De este último aspecto pocos e ha analizado, y hasta el año de 1992 en que el matemático regiomontano Oliverio Sánchez inició estudios sobre los conocimientos geométricos del pueblo mexica, no se sabía nada de esta disciplina. En la actualidad se han analizado geométricamente tres monumentos prehispánicos y los hallazgos son sorprendentes: en sólo tres monolitos esculpidos, el pueblo mexica consiguió resolver la construcción de todos los polígonos regulares hasta de 20 lados (con excepción del nonacaidecágono), incluso los de número primo de lados, con notable aproximación. Además, resolvió ingeniosamente la trisección y pentasección de ángulos específicos para efectuar multitud de subdivisiones del círculo y dejó indicadores para abordar la solución de uno de los más complejos problemas de geometría: la cuadratura del círculo.Recordemos que los egipcios, caldeos, griegos y romanos primero, y los árabes después, alcanzaron une levado nivel cultural y son considerados como los padres de las matemáticas y de la geometría. Retos específicos de geometría fueron abordados por los matemáticos de esas elevadas culturas de la antigüedad y sus conquistas se fueron transmitiendo de generación en generación, de pueblo a pueblo y de siglo en siglo hasta llegar a nosotros. En el siglo III a.C., Euclides estableció los parámetros para el planteamiento y la solución de problemas de geometría como la construcción de polígonos regulares de diverso número de lados con el sólo recurso de la regla y el compás. Y, desde Euclides, tres han sido los problemas que han ocupado el ingenio de los grandes maestros de la geometría y las matemáticas: la duplicación de un cubo (construir una arista de un cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo dado), la trisección de un ángulo (construir un ángulo igual a un tercio de un ángulo dado) y la y la cuadratura del círculo (construir un cuadro cuya  superficie sea igual a la de un círculo dado). Finalmente, en el siglo XIX de nuestra era y por intervención del “Príncipe de las Matemáticas”, Carl Friederich Gauss, se estableció la definitiva imposibilidad de resolver cualquiera de estos tres problemas con el sólo recurso de la regla y el compás.

-No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.

LA GÉNESIS DEL DISEÑO GEOMÉTRICO ASISTIDO POR ORDENADOR
-Este problema, la carencia de libertad en el diseño, que aparece con la utilización de superficies cuádricas o mínimas, es el mismo que se planteó en el origen de una nueva disciplina: obtener curvas y superficies de formas diversas pero con un procedimiento sencillo. Esto no se puede conseguir con ecuaciones, puesto que la intuición, mal que nos pese a los geómetras, se pierde cuando sustituimos una superficie por una ecuación. Hace falta un procedimiento geométrico simple que permita construir formas complicadas. En éstas estaban en el centro de diseño de la empresa automovilística Citroën cuando, en las postrimerías de la década de los 50, contrataron un joven matemático. En palabras del mismo matemático “ni él sabía qué podía hacer en aquella empresa, ni, lo que es peor, la empresa sabía qué podía hacer con un matemático’’. El caso es que le plantearon un problema relacionado con el diseño y la respuesta que dio es ahora conocida como el inicio del diseño geométrico asistido por ordenador. Su apellido era DeCasteljau, pero ahora las curvas y superficies que ideó se conocen con el nombre de curvas y superficies de Bézier, en honor de otro matemático que, de manera independiente y alternativa, llegó a la misma solución trabajando para una empresa de la competencia, la Renault. La explicación de este cambio de nombre es a la vez sencilla y cruel, la política de propiedad intelectual de la Citroën era mucho más restrictiva con sus trabajadores que la de la Renault. DeCasteljau no obtuvo el permiso para publicar su trabajo en revistas científicas, con todo lo que conlleva de difusión internacional de los resultados, lo que sí que pudo hacer Bézier.
La idea de DeCasteljau para construir superficies tiene como germen el mismo paraboloide hiperbólico. Ya hemos visto que con cuatro puntos determinamos un paraboloide hiperbólico. De alguna manera podemos decir que estos puntos controlan la superficie. La idea consiste en utilizar una red de puntos que controlan la superficie, y construir la superficie con un procedimiento parecido al que utilizan los obreros, matemáticamente denominado interpolación lineal, de manera recursiva. Hay que señalar que uno de los ingredientes fundamentales que los informáticos, y también los matemáticos, aprovechan cuando diseñan un algoritmo es la recursividad. Por tanto, la construcción de DeCasteljau está totalmente adaptada a la nueva herramienta de trabajo que representaba el ordenador en aquellos primeros años de su aparición.

3 comentarios enero 23, 2007